فیزتک

فیزیک و تکنولوژی

فیزیک و تکنولوژی

آموزگار هستم. از آنجا که پروژه کارشناسی بنده حول ترجمه مقالاتی درباره ظهور اشعه ایکس و کاربردهای آن بود، این صفحه را ابتدا تحت عنوان اشعه ایکس در فروردین 1384 راه اندازی کردم. بعدها بخاطر نشر مطالب متفاوت و گوناگون به فیزتِـــک تغییر نام دادم. فیزتک از سرکلمه های فیزیک و تکنولوژی ساخته شده است.
/ پشتیبان دانش آموزان مدارس بین الملل
International School's Students Support

طبقه بندی موضوعی

Supply and Demand problem

سه شنبه, ۱۱ تیر ۱۴۰۴، ۱۱:۱۰ ق.ظ

A certain company offers two products (a, b, measured in thousands of units). Their respective demand equations are: $$4a+p_1=14$$ and $$2b + p_2 = 24$$ where p_1, p_2 stand for respectively- the selling price per unit of each product. The overall cost is given by  $$a^ 2 + 5ab + b ^ 2$$ Study the maximum profit. (2.5 points)

To study the maximum profit for the given company, we need to:

1. Define the profit function

a, b: quantities sold (in thousands)

p1, p2: prices per unit of products a and b

2. From demand equation s, solve for price as a function of quantity:

Given:

$$ 4a + p_1 = 14 \rightarrow p_1 = 14-4a$$ 

$$ 2b + p_2 = 24 \rightarrow p_2 = 24-2b$$ 

3. Revenue function

Revenue = (price of a × quantity a) + (price of b × quantity b)

$$R(a,b) =   p_1 \times a + p_2 \times b$$

4. Cost function:

$$a^ 2 + 5ab + b ^ 2$$

5. Profit function = Revenue - Cost

$$P(a,b) = R(a,b) - C(a,b)$$

$$P(a,b) = a p_1 + b p_2 - (a^ 2 + 5ab + b ^ 2)$$

$$P = a (14-4a)+ b (24-2b)- (a^ 2 + 5ab + b ^ 2)$$

$$P = 14a-4a^2+ 24b-2b^2- a^ 2 - 5ab - b ^ 2$$

$$P = 14a-5a^2+ 24b-3b^2 - 5ab$$

6. Maximize profit function

Take partial derivatives and set them to 0:

$$\frac{\partial P}{\partial a}=0 \rightarrow 14 - 10a - 5b = 0$$

$$\frac{\partial P}{\partial b}=0 \rightarrow 24 - 6b - 5a = 0$$

Now solve equations byelemination method:

$$-10a - 5b = -14$$

$$2 (5a + 6b = 24) $$

then we have

$$-10a - 5b = -14$$

$$10a + 12b = 48 $$

$$-------$$

$$7b = 34$$ 

$$b={34 \over 7}$$

$$5a + 6 \left( {34 \over 7} \right)= 24$$

multiply both side by 7

$$35a + 204 = 168$$

$$35a = 168-204$$

$$35a = -36$$

$$a = -{36 \over 35}$$

8. Conclusion

The critical point is at 

$$a = -{36 \over 35}, b={34 \over 7}$$

but a<0, which is not valid scince quantity sold cannot be negative.

so $$a = 0 ; b = 4$$

second derivative

$$\frac{\partial^2 P}{\partial a^2}=-10$$

$$\frac{\partial^2 P}{\partial b^2}=-4$$

$$\frac{\partial^2 P}{\partial ab}=-5$$

$$H = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 P}{\partial a^2} & \frac{\partial^2 P}{\partial ab} \\\ \frac{\partial^2 P}{\partial ab} & \frac{\partial^2 P}{\partial b^2} \end{pmatrix}$$

$$H = \begin{pmatrix}-10 & -5\\\ -5 & -4\end{pmatrix}$$

calculate determination of Hessian matrix

$$det(H) =  10 \times 4 - 5 \times 5=40-25=15>0$$

$$\frac{\partial^2 P}{\partial a^2}=-10<0$$

So P has a maximum in a = 0 , b= 4

$$P = 14(0)-5(0)^2+ 24(4)-3(4)^2 - 5(0)(11)= 48$$

  • ابراهیم پهلوان

نظرات  (۰)

هیچ نظری هنوز ثبت نشده است
ارسال نظر آزاد است، اما اگر قبلا در بیان ثبت نام کرده اید می توانید ابتدا وارد شوید.
شما میتوانید از این تگهای html استفاده کنید:
<b> یا <strong>، <em> یا <i>، <u>، <strike> یا <s>، <sup>، <sub>، <blockquote>، <code>، <pre>، <hr>، <br>، <p>، <a href="" title="">، <span style="">، <div align="">
تجدید کد امنیتی